2. 位运算的知识点以及常用技巧

位运算：

• & （与）

  eg:

  1 0 1
  
  0 0 1
  
  0 0 1

• | （或）

  eg:

  1 0 1
  
  0 0 1
  
  1 0 1

• ^ （异或）

1. 运算规则：（不进位加法）

0         0 ——> 0
1         0 ——> 1
0         1 ——> 1
1         1 ——> 0

2. 不进位的加法：

1 ^ 1 ==> 0 正常的话：1 + 1 = 20,但是只看个位，因此，取0

3. 运算法则：

1. 交换律
2. 结合律

   即$(a^b)^c == a^{b^c}$

3. 对于任何数x，都有

   $x^x=0，x^0=x$

4. 自反性：

   A XOR B XOR B = A xor 0 = A

• ~ （取反）

  把 0 变成 1
  
  把 1 变成 0

• << （左移）

eg:

1. 1101 << 1 ===> 11010
2. 1 << n == $2^n$ （向上取整）

• >> （右移）

  eg:

  1. 1101 >> 1 ===> 110
  2. n >> x == $n \over 2^x$(向下取整)

技巧：

1. x + (-x)

经验：

• 将数组无穷大：memset(nums, 0x3f, sizeof(nums))
• 竞赛中少使用#include <bits/stdc++.h> // 原因：编译的时间过长,时间会超时
• 转化成 long long的形式：乘以 1ll,例子见——>快速幂算法模板—求$ a^b%p$
• 将大数组放到全局变量中

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快速幂算法模板

1：求 $ a^b $

long long quickPower(int a, int b)
{
    long long res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1)
            res *= 1ll * a;
        a *= a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

2：求 $a^b%p$

int quickPowerMod(int a, int b, int p)
{
    int res = 1 % p;
    while(b) {
        if(b & 1)
            res = res * 1ll * a % p;
        a = a * 1ll * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

---

模运算法则

• (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
• (a - b) % p = (a % p - b % p) % p
• (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
• (a^b) % p = ((a % p)^b) % p

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位运算常用技巧

• 用异或来实现配偶

  0，1
  2，3
  4, 5
  6, 7
  ……

  即(把每个整数异或一个1，就可以得到他的配偶)

  0 ^ 1 = 1,            1 ^ 1 = 0
  2 ^ 1 = 3,            3 ^ 1 = 2
  ……
  2k ^ 1 = 2k + 1,    (2k + 1) ^ 1 = 2k

  使用

  一般在图论里面，写最小费用流时，我们会存一个编的正向编和反向编，会需要快速求出来一个数的反向编是什么

• lowbit运算(树状数组的基础)

  定义：

  快速的求出来整数n，在二进制表示里面，最低的一位1是哪个(或者说：n的二进制表示中最右边一个1)

  效果：

  lowbit(1110011000) ——> 1000

  实现：

  首先，假设n的二进制是1110011000
  然后，对n取反，得到：~n = 0001100111
  接着，~n+1  ===>  0001101000
  紧接着，(~n + 1) & n ===> 0000001000 ===> 1000
  最后，由于-n = ~n + 1,所以lowbit就是：(-n) & n

  代码实现：

  int lowbit(int n)
  {
      return (-n) & n;
  }

  拓展

  1. 复杂度和1的个数有关和
  2. 可以快速求出来一个整数里面有多少个1
  3. 求n是2的整次方幂
     【释】：
     $2^n$      <==> 1 << n  
           **⬇**
     n & -n   <==>   n；

  反之， n & -n < n

原码、反码、补码

正数

原码，反码，补码均相等。

负数

• 反码求法：

1. 符号位不变。
2. 其他位取反。

• 补码求法：

1.符号位不变。
2.其他位取反。
3.最后一位加1。

例子

以123和-123为例：

• [123] 原码：01111011。 反码：01111011。 补码：01111011。
• [-123]原码：11111011。 反码：10000100。 补码：10000101。

二进制转换成10进制

1. 如果为正数，则直接求即可
2. 如果为负数，取反+1，然后求出数值前面加个负号。